解密函数之走进定义域|函数定义域

  【摘要】函数的定义域是函数的三要素之一,凡是涉及函数问题,均要考虑定义域。而定义域的求法本身及对函数知识的应用非常关键。求函数的定义域的过程,实质上就是根据解析式列出不等式(组)后解这个不等式组的过程,但应注意求解时不能先将函数化简、变形,否则可能会改变原函数的定义域。
  【关键词】函数 定义域 求解 过程 实质
  
  函数的定义域是函数的三要素之一,凡是涉及函数问题,均要考虑定义域。但高考对其考查较分散,学生理解起来有一定的困难。而定义域作为函数部分的重要概念,定义域的求法本身及对函数知识的应用非常关键,所以此问题必须要攻克。现对定义域小结如下:
  1. 定义域的概念与表示
  �函数y=f(x)的定义域是指自变量x的取值范围,用集合或区间表示,且不能为空集。
  确定函数定义域的依据:
  ①若f(x)是整式,则定义域为全体实数.
  ②若f(x)是分式,则定义域为使分式的分母不为零的x的取值的集合.
  ③当f(x)是偶次根式时,定义域是使被开方式取非负的x取值的集合.
  ④当f(x)是非正数指数幂时,定义域是使幂的底数不为零的x取值的集合.
  ⑤对数函数的真数必然大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1.
  ⑥若f(x)是有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集。
  例1:求下列函数的定义域。
  (1)f(x)=〖SX(〗1〖〗x+1〖SX)〗 (2) y=〖SX(〗3〖〗1-〖KF(〗1-x〖KF)〗〖SX)〗
  【解题思路】:具体函数的定义域必须结合具体函数对定义域的要求,要全面考虑各个条件。
  练习:y=x�2 +〖SX(〗(x+3)�0〖〗〖KF(S〗3〖〗2x-3〖KF)〗〖SX)〗 y=〖KF(〗3x+2〖KF)〗+〖SX(〗 (x+3)�0〖〗〖KF(S〗3〖〗2x-3〖KF)〗〖SX)〗
  评析:对待此类有关于分式、根式的问题,切记关注函数的分母与被开方数即可,两者要同时考虑,所求“交集”即为所求的定义域。
  2.求抽象函数的定义域
  分析:若已知函数f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出.
  若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]时的值域。
  例2 (1)已知函数f(x)的定义域为(0,1),求f(x�2)的定义域;
  (2)已知函数f(2x+1)的定义域为(0,1),求f(x)的定义域;
  (3)已知函数f(x+1)的定义域为[-2,3],求f(x�2 -2)的定义域.
  【解题思路】:对于抽象函数的定义域,必须在透彻理解函数f(x)的定义域的概念的基础上,灵活运用.
  解 :(1)∵f(x)的定义域为(0,1),
  ∴要使 有意义,需使0<2�x<1.
  即-1<x<0,或0<x<1.
  ∴函数 的定义域为{x|-1<x<0,或0<x<1}
  (2)∵f(2x+1)的定义域为(0,1),即其中的自变量x的取值范围是0<x<1.
  令t=2x+1,∴1<t<3,∴f(t)的定义域为1<t<3.
  ∴函数f(x)的定义域为{x|1<x<3}.
  (3)∵f(x+1)的定义域为[-2,3],∴-2≤x≤3.
  令t=x+1,∴-1≤t≤4.
  ∴f(t)的定义域为{t|-1≤t≤4}.
  即f(x)的定义域为{t|-1≤x≤4}.
  要使f(2 -2)有意义,需使-1≤2 -2≤4.
  ∴-3≤x≤-〖SX(〗〖KF(〗2〖KF)〗〖〗2〖SX)〗,或〖SX(〗〖KF(〗2〖KF)〗〖〗2〖SX)〗≤x≤3.
  ∴函数f(2x�2-2)的定义域为{x|-〖KF(〗3〖KF)〗≤x≤-〖SX(〗〖KF(〗2〖KF)〗〖〗2〖SX)〗,或〖SX(〗〖KF(〗2〖KF)〗〖〗2〖SX)〗≤x≤〖KF(〗3〖KF)〗}。
  评析:若已知复合函数f[g(x)]的定义域求f(x)的定义域,可令t=g(x),由x的范围推出t的范围,再以x换t即得f(x)的定义域.若已知f(x)的定义域求复合函数f[φ(x)]的定义域,可将f(x)的定义域写成关于x的不等式,然后将x换成中间变量φ(x),再解不等式即可得到复合函数f[φ(x)]的定义域。
  练习: 已知f(x�2)的定义域为[-1,1],求f(2�x)的定义域。
  思考:(3)已知f(x)的定义域为[0,1],求函数y=f(x+a)+f(x-a)
  (其中0<a<〖SX(〗1〖〗2〖SX)〗)的定义域)
  3.函数定义域在实际问题中的应用
  分析:在解决函数实际应用题时,要考虑结合实际问题,挖掘函数的定义域,切不可忽视定义域的条件限制作用。
  求实际问题背景下的函数的定义域。
  【例3】 已知扇形周长为10 cm,求扇形半径r与扇形面积S的函数关系S=f(r),并确定其定义域。
  【解题思路】;设弧长为l,则l=10-2r,因为S=〖SX(〗1〖〗2〖SX)〗lr,所以S=f(r)=-r�2+5r.简略地说,r>0,但首先有r<5,其次〖SX(〗l〖〗r〖SX)〗<2π,即10-2rr<2π,所以r>〖SX(〗5〖〗π+1〖SX)〗,所以定义域为(〖SX(〗5〖〗π+1〖SX)〗,5)
  评析:求由实际问题确定的函数的定义域时,除考虑函数的解析式有意义外,还要考虑使实际问题有意义.如本题使函数解析式有意义的x的取值范围是x∈R,但实际问题的意义是矩形的边长为正数,而边长是用变量x表示的,这就是实际问题对自变量的制约。
  练习:将长为a的铁丝折成矩形,求矩形的面积y关于一边长x的函数解析式,并求函数的定义域。
  其实,求函数的定义域的过程,实质上就是根据解析式列出不等式(组)后解这个不等式组的过程,但应注意求解时不能先将函数化简、变形,否则可能会改变原函数的定义域。�

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